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《子矩阵约束下矩阵方程组的双对称最小二乘解》pdf

归档日期:07-02       文本归类:约束矩阵      文章编辑:爱尚语录

  数学物理学报http:actams.wipm.ac.cn 子矩阵约束下矩阵方程组的双对称最小二乘解木 (湖南科技大学数学与计算科学学院湖南湘潭411201) 摘要:矩阵方程组A玎j0鼠J=G(i=1,2,…,t)在控制与系统领域中具有广泛应用. 该文构造了一种算法求解这个矩阵方程组,其中j0R”J“JU=1,2,…,f)为带有特殊中心主子矩阵约束的双对称矩阵.在没有舍入误差的情况下,该算法经过有限步迭代得到 [xt,xz,…,五】,使得||A巧玛B巧一G||=min.实例表明这种方法是有效的. 关键词:矩阵方程组;中心主子矩阵;双对称解;子矩阵约束;最小二乘解.MR(2010)主题分类:65F10;65F30 中图分类号:0241.6 文献标识码:A 文章编号:1003—3998(2015)01—131—20 引言设R、R…黼、SR似“和A舻黼分别表示实数、m礼实矩阵、佗n实对称矩 阵和扎礼实反对称矩阵集合.厶表示n阶单位矩阵.(=(e。,e。一,,…,e ))表示 礼n反序单位矩阵(ei表示礼n单位矩阵的第i列).印。和tr(A)分别表示矩阵A的转置 和迹.定义矩阵A与B的内积为(A,B)=tr(铲。A),那么,由这种内积生成的范数,显然就 是nobenius范数,即IIA垆=(A,A). 定义1.1矩阵A=(oi,)R似”被称为双对称矩阵,如果A=AT=4,即, 定义1.2矩阵A=(otj)R似”被称为双反对称矩阵,如果AT=A=一A,即,n玎=ojt=一o。+1-.j,。+1咱(i,J=1,2,…,n).用SC舻礼表示佗阶实双反对称矩阵集合. 双对称矩阵在信息理论【1|、马尔可夫过程【2】和物理工程问题【3】等很多领域中有广泛 应用,并且已被广泛研究. 线性矩阵方程组已经成为数值计算中的热门课题,已有很多的研究成果.例如,Yuan和 wang[4]利用四元数矩阵的复表示和Moore_Penrose广义逆给出了矩阵方程AxB+cxD= E带有最小范数的最小二乘叩一Hermitian和叩一anti—Hermitian解的表达式.wang[5]在正则 环上研究了矩阵方程组A1xBl=a,A2xB2=Q,得到了这个方程组一般解存在的充分 必要条件和表达式.、ang[6]也在冯.诺伊曼正则环上研究了矩阵方程组.wang等【7】给 收稿日期:2013—12—06;修订日期:2014—11—29 Bmail:penghua402@163.com 十基金项目:国家自然科学基金(11471108)、湖南省科技厅研究基金(2012FJ3048)和湖南省高校创新平台开放 基金(13K087)资助 万方数据 132 数学物理学报 V01.35A 出了矩阵方程组Ax—y鼠=G(i=1,2,…,s),Ax鼠一Gy现=最(i=1,2,…,s) 双(反)对称解的充分必要条件.wang和Li[8]在四元数代数中求出了矩阵方程组A1x= a,A2x2=Q,A3x181+A4尥B2=G的最大最小秩解和最小范数解.Wang和Yrui9J给 出了四元数矩阵方程Ax=B广义双对称和双反对称解的条件以及解的表达式,并且求出 了最大最小秩解.wang和Y.u[10J也得到了四元数矩阵方程义A=B的最小二乘解的充分 必要条件和解的表达式. 迭代方法经常应用于解矩阵方程组.例如,Lin和wang[11】用迭代法求出了矩阵方程组 A1x1B1+A2x282=E,C1x1D1+Q尥D2=F的解。Li和wang[12,131用迭代法求出了四元 数矩阵方程的自反和广义(PjQ)自反解.Yin等16J用迭代法求出了广义sylvester矩阵方 程组的广义自反解.Ding等[17|用两种方法求解了矩阵方程组A1xBl=F1和A2xB2=易. 在[18—21】中,Ding等利用基于层次识别原理阮23]的迭代法研究了矩阵方程组.Ding 和Chen【241利用基于梯度搜索原理的迭代法求解了矩阵方程组 (1.1) 值得注意的是,矩阵方程组(1.1)包含了很多的矩阵方程组. 近年来,人们对双对称矩阵、中心对称矩阵等子矩阵约束问题产生了浓厚兴趣.然而, 由于这些矩阵的特殊结构,在给定的子矩阵约束条件下讨论子矩阵约束问题是不适合的,因 为这种特殊结构被破坏.因此,为了解决这个问题,引入一个定义. 定义1.3[25]给定M彤跏,如果n—q是一个偶数,那么通过删掉M的前后堡茅行 和列,得到M的一个口阶中心主子矩阵,用腹(q)表示,即,尬(q)=【m巧]竿<t,j<。一掣. 如果MR似n的中心主子矩阵为M。(q)=x,其他元素为o,那么M就被这个中心主 子矩阵完全确定.在这种情况下,用x。表示这种矩阵,即, 显然,奇数(偶数)阶矩阵仅有奇数(偶数)阶中心主子矩阵.子矩阵约束问题最初来源于子系统扩充问题,并且已被广泛地研究.例如,Yin等f14】 对一个逆特征值问题给出了顺序主子矩阵约束的(R,S)对称解.Liao和Lei[26J研究了带有 子矩阵约束的双对称解的逆特征值问题.Bai[27]研究了带有子矩阵约束的中心对称解的逆 特征值问题.DeiR和Nanda[28]讨论了在子矩阵约束下三对角矩阵的逆特征值问题.Gong 等【29】讨论了矩阵方程』4xAT=B中x带有顺序主子矩阵约束的反对称解。 zhao等… 研究了矩阵方程Ax=B中x带有中心主子矩阵约束的双对称解. 然而,矩阵方程组(1.1)中x1,x2,…,玛带有相关的中心主子矩阵约束的双对称解的 问题还没有相关的结论,而且,使用上面文献中的方法,不能解决这个问题.还应该指出, 矩阵方程组(1.1)的系数矩阵经常来自实验,可能不满足方程组的可解条件.因此,本文研 究以下问题. 万方数据No.1 彭卓华:子矩阵约束下矩阵方程组的双对称最小二乘解 133 求矩阵组f,驾,…,。对]D1D2…Dz,使得 问题II设&表示问题I的解集.给定矩阵组匡1,豆,…,豆】DlD2…Dz,求[戈f,霹,…,贾,]sE,使得 2预备知识 J2.引理2.1如果矩阵xS舻加,那么x+&x岛B彤黼,X一x&SCR似“. 证由定义(1.1)和定义(1,2)容易得到这个证明. 定义2.1定义以下两个集合BR:“={xIxBR““,五(q)=o), BR?n=txIx=(i0i),xBR”n,x。=K c曲BRq。卜 显然,BR?黼和B碍黼都是R似“的线JX=X。+Xb 如果存在程BR州“,弼scR似“满足(2.3)式减去(2.2)式得 (2.4)式两边乘以品得 X:一xa—xb—X:SnX:Sn—s。X。Sn=s。Xbs。一s。X:Sn, (2.2) (2.4)万方数据 134 数学物理学报 Vbl.35A 第3步Vx。BRnn,凰scRnn,《x。,凰)=tr(霹虬)=tr(一霹&x。)=一tr(霹%)=一(%,蕊) (2.5) 故《X。,Xb)=0. 因此,由以上3步可知,(2)式成立. (3)式的证明与(2)式的证明类似. 推论2.1Vz舻黼,则存在唯一的z1B殿跏,历引叼黼,历SCR””和 Z—Z1,即,皿(z)=Z1. VzR””,l矿BR:x“,则 (2.6)引理2.3【31]设M表示有限维内积空间,N是M的一个子空间,N上表示N的正交补 空间.VzM,总存在珈N,使得忙一珈l|忙一训(VN),其中lj.|I是定义在M上, 与内积空间相关的范数.而且,可。为N中唯一最小向量的充分必要条件是@一珈)j-N,即 3用迭代法解问题I3.1与问题I等价的最小二乘问题 [x1,恐,…,五]BR?1”1B冗?:”2…BR2z…,使得其中R=G min【x1,x2,…,xf】BR?1。n1BR?2。n2 (3.1)引理3.1问题I的解可表示为;,x;,…,x门=[贾1+又1,又2+瓦,…,爻2+葡],其 万方数据No.1 彭卓华:子矩阵约束下矩阵方程组的双对称最小二乘解 135 证由(1.2)式可得功圣瓦+JEiR加,.这表明马是一个线性流形. 趣{X{Bt办故引理3.1成立. 注1由于功是一个线性流形,不能确保得到的解满足给定的子矩阵要求,所以,不能直接构造迭代法解问题I.因此,把线性流形上的问题I转化为线性子空间上的问题A,达 到求解问题I的目的. 求解问题A,也就是求矩阵方程组 在BR:,”zBR2。”。…B霹z煳z上的最小二乘解【x1,尥,…,xf】.引理3.2设豆表示方程组(3.2)相应于晖。,又2,…,豆】的残量, {LIL=(3.2) V[x1,局,一,五]BR21”1BR22毗…BR2。…, F,diagf, 万方数据136 数学物理学报 v01.35A R悒那么,是可微的.构造辅助函数9(s)=,(x1+sEl,恐+s易,…,托+s蜀),其中E1,易,…,蜀是具有适当大小的任意矩阵.于是可得 97(o)= (3.4)(3.5) (3,6) 根据(3.6)式,皿(壹A否忍磁):oo:1,2,…,f)当且仅当V蜀,(x1,恐,…,托)的投影 等于o(J=1,2,…,1),这表明引理3.2与引理3.3是一致的.3.2 用迭代法解问题A Qo,j 算法3.1任给初始矩阵组 万方数据No.1 彭卓华:子矩阵约束下矩阵方程组的双对称最小二乘解 137 最+1,J 一,£)在线吼+l,iB否)知,对所有的庇,R+1,J (Qi,。,弓,。)=o,i,J=o,1,2,…,南,证(用数学归纳法)第一步证明,当克=1 AuQo.uBuA。。Qo.。鼠。。 Au"P0.即Bu削A。。Q1.。B。。) A。。(P1,。+角Qo,。)B。。) 。Tl。fl 万方数据 138 数学物理学报A。。Qo,。上乙u A。。Qo,。上乙u (Qo ,P1,。) 因此,当忌=l时,(1)一(3)成立.第二步证明,假定当走=s,is— 1,is时,(1)一(3)成立.证明过程如下:当南=s+1,{Ss一1时, P3+1,。)= A:。(‰,。一R1,。)B现),P1,。)(Pl,。,P1,。)=o (1)一(3)成立,即,V01.35A A。。Qt,。JEi。。,A。。(只+1,。+风Q。,。)巩。)(Qi,。,只+1,。) 由算法3.1知,矩阵 Q,。=最,。+成一1Qt— 岛P0.。,(3.7) 万方数据No.1 彭卓华:子矩阵约束下矩阵方程组的双对称最小二乘解 139 于是可得 (3.8)s一11 万方数据140 数学物理学报 Vbl.35A 因此,由第一步和第二步知,引理3.4成立. 引理3.4表明,算法3.1生成的矩阵列{diag(只,1,只,2,…,只,z))在R(“1+‘+”。)(”1+‘+”z)上相互正交.设rj表示子空间BR黼,的维数,那么存在正整数七r1+r2+…+n,使 得0R,j《2=o,即,在没有舍入误差的情况下算法3.1至多经过r1+r2+…+亿迭代停 由引理3.4和以上讨论,可得以下定理.定理3.1任给初始矩阵组[弱,l,‰,2,…,凰,f]BR? BR2z“。…B冗2z煳z,通过算法3.1,至多经过r1+r2+…+n迭代可得问题A的一个解. 注4理论上,任给初始矩阵组,通过算法3.1,至多经过r1+r2+…+rf迭代可得问题 A的一个解.但实际上,舍入误差是不可避免的,因而问题A的解有时要超过r1+r2+…+n 迭代才能得到. w是BR?-加,BR2。姗。…B_R2z煳c的一个线假设l,弱,…,x{]是问题A的解.那么问题A的任意解可表示为(x,+ (3.9)其中[嵋,蟛,…,聊]BR?1”1BR?2忱。_‘BR?2…. 证设[聊,蟛,…,叼]BR2-”-B冗?2。“2…BR:z….如果[xl+孵,尥+ 蟛,…,豆+蟛】是问题A的一个解,那么由引理3.2的证明可知 万方数据No.1 彭卓华:子矩阵约束下矩阵方程组的双对称最小二乘解 141 (3.10)BR22“2 定理3.2如果选取初始的矩阵组[凰,l,凰,2,…,凰,2]w,那么,通过算法3.1可得问题A的最小范数解. 证自算法3.1和定理3.1知,如果选取初始矩阵组[弱,1,xo,2,…,凰,2]w,可得问 并且存在豆舻t_,使得霉=(喜A5豆B否),歹=1,2,…,f.由引理3.5知,问题A的任意解可表示为f+埘,磁+蟛, 注5问题A的解集是非空的,由引理3.5知,这个解集是一个闭凸锥.因此,问题A存在唯一解.如果1,x2,…,托]w是问题A的解,那么它就是唯一最小范数解. 3.3算法3.1的最优性质 定理3.3对任意初始矩阵组[‰,1,xo,2,…,凰,f]BR2,黼,BR2。黼。…BR?z加z, 算法3.1第南步生成的矩阵组【x,1,xk,2,…,x,f]满足以下优化问题 x1,xz,…,xl】u囊jA硒xjB订 万方数据142 数学物理学报 Vbl.35A 其中U表示仿射子空间,具有如下形式 u=【蜀,1,凰,2,…,硒,z]+span{[Qo,1,Qo,2,…,Qo,z],…,[Q七一1,1,Q%一l,2,…,Q%一1,z]) 证对任意初始矩阵组【x ,x2,…,x小u,存在实数列似);~,使得 七一1 9(芘,t1,…,如一1)如Qi,J)B。J—RIf2.由引『理3.4知 螂别12 如吼幽112 =壹(愉一12+薹t;0妻A。船,,玩,f12—2 其中凰,。(叫=1,2,…,t)是初始矩阵组[凰11,甄,2,…,弱,1]对应的残量.由算法3.1知,‰.。可表示为 由于夕(t。,£l,…,如一1)是连续可微函数,所以使夕(芘,tl,…,£%一1)最小,当且仅当a9(如,t1,…,“ (A叫JQ,J三‰,伽=lj=1 (A。JQ,jB嘶叫=1j=1 万方数据No.1 彭卓华:子矩阵约束下矩阵方程组的双对称最小二乘解 143 因为 .^,l七lU所以定理3.3成立 定理3.3表明,如果[氟一1,1,x%一1,27一,x%一1,2]u,[x%,1,xk,2,…,xk,2】u,那么 锄确%一只忙到妾舭俄表明残量序列{壹f|圭A订甄,J%一只七:l,2,…)单调递减.这个单调递减的性质确保 ..,豆】D1D2…Dz,另B么mtn宴fj宴如玛嘞一aJ|_诚n宴 求下述最小二乘问题的最小nobenius范数解mln flA巧B玎,则求问题II的唯一解等价于 AtjN{B晒 (4.1)应用算法3.1,设初始矩阵组[0,l,0,2,…,0,z】=[o,o,…,01,可得问题(4.1)唯一最小 nobenius范数解[埘,孵,…,吖],从而得到问题II的唯一解[又;,霹,…,霹】.在这种情况 5数值试验例5.1求解矩阵方程组 (5.1) 万方数据144 数学物理学报 Vbl.35A 其中 412 A1l= 1l612 A21=A22= 11612 710 B21=,B22= 4一134一13 4—13 万方数据No.1 彭卓华:子矩阵约束下矩阵方程组的双对称最小二乘解 145 262—1446262—1446 262—1446 262 152 1246 152 1246 152 1246 152 1224 —450 1224 —450 1224 —450 1224 2110—20922110—20922110—20922110 ~770 800—770 800~770 800—770 1876—11061876—1106 1876—1106 1876 1696 —520 1696 —520 1696 —520 1696 110—410 一502—590 68 282—210 348 642—628 144 398 —1952 852—1704 954—16901132 —64—406 156—418 422 308 —246 380 178—430 218 450 154 418 —476 514 —418 550 toeplitz(1:铭)表示第1行为(1,2,…,讫)的魏阶Toeplitz矩阵。hilb(钍)表示n阶Hilbert矩 阵.设中心主子矩阵为%。=toeplitz(1:4),五。=hilb(5).首先计算E=G—A1X1鼠1一 A2)-2Bi2({=1,2),其中瓦=1,2)为形如(3.1)式具有适当大小的矩阵.于是可得以下 方程组 设初始矩阵为 子空间B磁8 [凰,1,凰,2]=[zeros(8),zeros(9)】.应用算法3.1, X1 X2。残量范数为 B磁x9上的最小nobenius范数最小二乘解 迭代69步可得方程组(5.2)在(x1,x2) 一3.4116 20.1512 13.8336 8.8217 2.9464—13.3935—26.0629—10.8094 20.1512 22.1981 6.1023—9,7545—7.9694 4.1094 8.8559—26.0629 13.8336 6.1023 4.1094—13.39358.8217 —9.7545 —7.96942.9464 2.9464 —7.9694 —9.75458.8217 一13.3935 4.1094 6,102313.8336 —26.0629 8.8559 4.1094—7.9694—9.7545 6.1023 22.1981 20.1512 —10.8094—26.0629—13,3935 2.9464 8.8217 13.8336 20.1512 —3.4116 25.1095 —6.9018—26.654611.8188 15.9120 1.6025 —7.5709 —2.5952一15.4706 —6.9018 32.4696 —4.2254 7.1416—11.2847 8.8638 11.2418—20.1741 —2.5952 —26.6546 —4.2254 11.2418—7.5709 11.8188 7.1416 15.9120—11.2847 1.6025 7.5709 8.8638 11.2418 8.86381.6025 O一11.284715.9120 7.141611.8188 一4.2254—26.6546—2.5952—20.1741 11.2418 8.8638—11.2847 7.1416 —4.2254 32.4696 —6.9018 —15,4706 —2.5952 —7.5709 1.6025 15.912011,8188—26.6546 —6.9018 25.1095 万方数据146 数学物理学报 V01.35A 同样的,应用算法3.1,可以计算序列{(x,凰,z)} lO20 30 40 50 60 70 迭代次数 图1例5.1的数值结果 矩阵方程组(5.1)的最小nobenius范数最小二乘解为 一3.411620.1512 13.8336 8_8217 2.9464 —13.3935 —26.0629 —10.8094 20.1512 13.8336 22.1981 6.1023 6.1023 8.85594.1094 26.0629~13.3935 8.8217 9.7545 7.96942.9464 2.9464—13.3935—26.0629—10.8094 7.9694 4.1094 8.8559—26.0629 —7.96942.9464 —9.75458.8217 6.102313.8336 9.7545 6.1023 22.198l 20.1512 8.8217 13.8336 20.1512 —3.4116 25.1095 —6.9018—26.654611,8188 15.9120 1.6025 —7.5709 —2.5952—15.4706 —6.9018 32.4696 —4.2254 7.1416—11.2847 8.8638 11.2418—20.1741 —2,5952 —26.6546 —4.2254 1.0000 O.5000 0.3333 O.2500 O.2000 11.2418 —7。5709 11.8188 7.1416 0.5000 0.3333 O.2500 O.2000 0.1667 8.8638 1.6025 15.9120—11.2847 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429—11.2847 15.9120 1.6025 8.8638 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 7.1416 11.8188 —7.5709 11.2418 0.2000 0.1667 O.1429 0.1250 O.1111 —4.2254—26.6546 —2.5952—20.174l 11.2418 8.8638—11.2847 7.1416 —4.2254 32.4696 —6.9018 —15.4706 —2.5952 —7.5709 1.6025 15.912011.8188—26.6546 —6.9018 25.1095 例5.2矩阵A1l,B11,412,B12,A21,B21,A22,B22,c1和Q分别为 A1l= (ha嚣‰ ones/2ones/2 B11=e”(几) B12=ones(礼), 万方数据No.1 彭卓华:子矩阵约束下矩阵方程组的双对称最小二乘解 147 A22=hankel(1:凡),B22=hadamard(n), c1=tridiag([1,5,一1],礼),Q=toeplitz(1:n)hankel(1:n) 其中hankel(1:n)表示第1行为(1,2,…,佗)的他阶Hankel矩阵. 生成的三对角矩阵.xq。=toeplitz(1:8)和xq。=hilb(8)为给定的中心主子矩阵。应用 算法3.1,分别求解当佗=12,24,48,96时所对应的矩阵方程组(5.1).首先计算日=G— A1叉1甄1一At2j-2Bi2(i=1,2),其中夏j0=1,2)是形如(3.1)式具有适当大小的矩阵.设 [凰11)凰,2]=[zeros(n),zeros(n)],应用算法(3.1),得到矩阵方程组(5.2)在-B霹nB磁黼上 的最小nobenius范数最小二乘解.表1列出了有关的数值结果,即列出了当n=12,24,48,96 时矩阵411,A12,A21,A22的秩,以及在停止标准为JlR,川210e—010的条件下的迭代 不同矩阵大小的数值结果扎rank(A11)rank(A12)rank(A21)ra肛k(A22) IT TER REs cPuTIME 尽管A1l,A12和A21的条件数很大,但是从表1可以看出,算法3.1的收敛速度是很快 的.为了节省篇幅,我们仅给出当礼=12时方程组(5.1)最小范数最小二乘解. 7.1818 100101 —53302 1262~ 174332—102940 —75255~79086 —53302一102940 —71262—75255 —8B368—79086 一88701—76042 —92279—7.4557 —94798—92785 10204023.8558—156862一104503~9.2785 8,5820 10.2040 —6.1948 —8.4007~94798 6.6141 09170—05848 0.9170一0.3455 O9143 —05848 09143 10000

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